Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии Потери механической энергии и работа непотенциальных сил. К.П.Д. Машины

Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем:

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами.

Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Существует еще один вид систем - диссипативные системы , в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии .

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной.

Этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга.

Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы , он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы , например, силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется . Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида.

14. Момент инерции твердого тела. Момент импульса. Теорема Штейнера.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:

Суммирование производится по всем элементарным массам m, на которые разбивается тело.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: где интегрирование производится по всему объему тела.

Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z. Момент инерции - величина аддитивная : момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера :

момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jс относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:

Примеры моментов инерции некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела):

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;

р = mv - импульс материальной точки;

L - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к.

Модуль вектора момента импульса:

где а - угол между векторами r и р;

l - плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r, с некоторой скоростью Vi. Скорость Vi и импульс mV перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора . Поэтому момент импульса отдельной частицы равен:

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу получим, что момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость:

Энергия – скалярная величина. В системе СИ единицей измерения энергии является Джоуль.

Кинетическая и потенциальная энергия

Различают два вида энергии – кинетическую и потенциальную.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинетическая энергия – это энергия, которой тело обладает вследствие своего движения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Потенциальная энергия – это энергия, которая определяется взаимным расположением тел, а также характером сил взаимодействия между этими телами.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли – это энергия, обусловленная гравитационным взаимодействием тела с Землей. Она определяется положением тела относительно Земли и равна работе по перемещению тела из данного положения на нулевой уровень:

Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием частей тела друг с другом. Она равна работе внешних сил по растяжению (сжатию) недеформированной пружины на величину :

Тело может одновременно обладать и кинетической, и потенциальной энергией.

Полная механическая энергия тела или системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела (системы тел):

Закон сохранения энергии

Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения энергии:

В случае, когда на тело (или систему тел) действуют внешние силы, например, закон сохранения механической энергии не выполняется. В этом случае изменение полной механической энергии тела (системы тел) равно внешних сил:

Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. Так же, как и , он справедлив не только для , но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что в энергию в природе нельзя уничтожить так же, как и создать из ничего.

В наиболее общем виде закон сохранения энергии можно сформулировать так:

• энергия в природе не исчезает и не создается вновь, а только превращается из одного вида в другой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

4.1. Потери механической энергии и работа непотенциальных сил. К.П.Д. Машины

Если бы закон сохранения механической энергии выполнялся в реальных установках (типа машины Обербека), тогда много расчётов можно было бы делать на основе уравнения:

Т о + П о = Т(t) + П(t) , (8)

где: Т о + П о = Е о - механическая энергия в начальный момент времени;

Т(t) + П(t) = Е(t) - механическая энергия в некоторый последующий момент времени t.

Применим формулу (8) к машине Обербека, где можно изменять высоту подъёма груза на нити (центр масс стержневой части установки не меняет своего положения). Поднимем груз на высоту h от нижнего уровня (где считаем П =0). Пусть вначале система с поднятым грузом покоится, т.е. Т о = 0, П о = mgh (m - масса груза на нити). После отпуска груза в системе начинается движение и её кинетическая энергия равна сумме энергии поступательного движения груза и вращательного движения стержневой части машины:

Т = + , (9)

где - скорость поступательного движения груза;

, J - угловая скорость вращения и момент инерции стержневой части

Для момента времени, когда груз опускается на нулевой уровень, из формул (4), (8) и (9) получаем:

mgh =
, (10)

где
,  0к - линейная и угловая скорости в конце спуска.

Формула (10) представляет собой уравнение, из которого (в зависимости от условий опыта) можно определять скорости и, массуm , момент инерции J , либо высоту h.

Однако формула (10) описывает идеальный тип установки, при движении частей которой отсутствуют силы трения и сопротивления. Если работа таких сил не равна нулю, тогда механическая энергия системы не сохраняется. Вместо уравнения (8) в этом случае следует записать:

Т о +П о = Т(t) + П(t) + A s , (11)

где А s - суммарная работа непотенциальных сил за все время движения.

Для машины Обербека получаем:

mgh =
, (12)

где ,  k - линейная и угловая скорости в конце спуска при наличии потерь энергии.

В исследуемой здесь установке действуют силы трения на оси шкива и дополнительного блока, а также силы сопротивления атмосферы при движении груза и вращении стержней. Работа этих непотенциальных сил заметно уменьшает скорости движения частей машины.

В результате действия непотенциальных сил часть механической энергии преобразуется в другие формы энергии: внутреннюю энергию и энергию излучения. При этом работа Аs точно равна суммарному значению этих других форм энергии, т.е. всегда выполняется фундаментальный, общефизический закон сохранения энергии.

Однако в установках, где происходит движение макроскопических тел, наблюдаются потери механической энергии , определяемые величиной работы Аs. Это явление существует во всех реальных машинах. По этой причине вводится специальное понятие: коэффициент полезного действия - к.п.д . Такой коэффициент определяет отношение полезной работы к запасённой (израсходованной) энергии.

В машине Обербека полезная работа равна полной кинетической энергии в конце спуска груза на нити, и к.п.д. определяется формулой:

к.п.д .= (13)

Здесь П о = mgh - запасённая энергия, израсходованная (преобразованная) в кинетическую энергию машины и в потери энергии, равные Аs, Т к - полная кинетическая энергия в конце спуска груза (формула (9)).

Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно также с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу. Если массы шаров m 1 и m 2 , их скорости до удара , то, используя закон сохранения импульса, можно записать:

Если шары двигались навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае – если массы и скорости шаров равны, то

Выясним, как меняется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии (диссипация энергии ). Эту «потерю» можно определить по разности кинетических энергий до и после удара:

.

Отсюда получаем:

(5.6.3)

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (υ 2 = 0), то

Когда m 2 >> m 1 (масса неподвижного тела очень большая), то и почти вся кинетическая энергия при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка.

Когда тогда и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение, а не на остаточную деформацию (например, молоток – гвоздь).

Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

Принцип сохранения энергии - абсолютно точен, не зафиксировано случаев его нарушения. Это фундаментальный закон природы, из которого вытекают другие. Поэтому важно правильно понимать его и уметь применять на практике.

Фундаментальный принцип

Общего определения для понятия энергии не существует. Выделяют разные ее виды: кинетическую, тепловую, потенциальную, химическую. Но сути это не проясняет. Энергия - некая количественная характеристика, которая, чтобы бы не происходило, остается постоянной для всей системы. Можно наблюдать, как скользящая шайба останавливается, и заявить: энергия изменилась! На самом деле нет: механическая энергия перешла в тепловую, часть которой рассеялась в воздухе, а часть ушла на плавление снега.

Рис. 1. Переход работы, затрачиваемой на преодоление трения, в тепловую энергию.

Математик, Эмми Нетер, сумела доказать, что постоянство энергии - проявление однородности времени. Эта величина инвариантна относительно переноса вдоль временной координаты, поскольку законы природы с течением времени не меняются.

Будем рассматривать полную механическую энергию (E) и ее виды - кинетическую (T) и потенциальную (V). Если сложить их, то получим выражение для полной механической энергии:

$E = T + V_{(q)}$

Записывая потенциальную энергию, как $V_{(q)}$, указываем, что она зависит исключительно от конфигурации системы. Под q понимаются обобщенные координаты. Это могут быть x, y, z в прямоугольной декартовой системе координат, а могут быть любые другие. Чаще всего имеют дело с декартовой системой.

Рис. 2. Потенциальная энергия в поле тяжести.

Математическая формулировка закона сохранения энергии в механике выглядит так:

$\frac {d}{dt}(T+V_{(q)}) = 0$ – производная полной механической энергии по времени равна нулю.

В привычном, интегральном виде, формула закона сохранения энергии записывается так:

В механике на закон накладываются ограничения: силы, действующие на систему, должны быть консервативным (их работа зависит только от конфигурации системы). При наличии неконсервативных сил, например, трения, механическая энергия переходит в другие виды энергии (тепловую, электрическую).

Термодинамика

Попытки создать вечный двигатель особенно характерны для 18-19 веков - эпохи, когда были сделаны первые паровые машины. Неудачи, тем не менее, привели к положительному результату: было сформулировано первое начало термодинамики:

$Q = \Delta U + A$ – затрачиваемое тепло расходует на совершение работы и на изменение внутренней энергии. Это ни что иное, как закон сохранения энергии, но для тепловых двигателей.

Рис. 3. Схема паровой машины.

Задачи

Груз массой 1 кг, подвешенный на нити L=2 м, отклонили так, что высота поднятия оказалась равной 0,45 м, и отпустили без начальной скорости. Какова будет сила натяжения нити в нижней точке?

Решение:

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y в момент, когда тело проходит нижнюю точку:

$ma = T – mg$, но, так как $a = \frac {v^2}{L}$, его можно переписать в новом виде:

$m \cdot \frac {v^2}{L} = T – mg$

Теперь запишем закон сохранения энергии, учитывая, что в начальном положении кинетическая энергия равна нулю, а в нижней точке - потенциальная энергия равна нулю:

$m \cdot g \cdot h = \frac {m \cdot v^2}{2}$

Тогда сила натяжения нити равна:

$T = \frac {m \cdot 2 \cdot g \cdot h}{L} + mg = 10 \cdot (0,45 + 1) = 14,5 \: Н$

Что мы узнали?

В ходе урока рассмотрели фундаментальное свойство природы (однородность времени), из которого вытекает закон сохранения энергии, рассмотрели примеры этого закона в разных разделах физики. Для закрепления материала решили задачу с маятником.

Тест по теме

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 252.